Se puede decir que los números reales son todos aquellos números que poseen una expansión decimal.
*Racionales
*Irracionales
-Racionales
Son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros.
Ej.
\frac{3}{2}, \frac{-21}{3},{5}, {0}, \frac{1}{2}, etc.
-IrracionalesSon aquellos números que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros.
Ej.
\sqrt[]{2}, /pi, \frac{\sqrt[3]{7+1}}{2}, etc.
-Subconjuntos importantes de los números reales
+Números naturales: N={0, 1, 2, 3, ...}
+Enteros positivos: N+={1, 2, 3, ...}
+Números enteros: Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
+Números racionales: Q{
x=x=\frac{a}{b}
, donde a y b son enteros: con lo distante de 0}+Números irracionales: todos los demás.
2.1 Propiedades básicas
Propiedad Enunciado formal Forma reducida
1. Cerradura de x,y eR→x+y eR + operación binaria
2. Cerradura de la x,y eR→x+y eR + operación binaria
multiplicación
3.Asociativa de la a+(b+c)=(a+b)+c Reacomodo
suma
4.Conmutativa de la a+b=b+a Reacomodo
suma
5.Conmutativa de la a*b=b*a Reacomodo
multiplicación
6.Elemento inverso a+(a-1)=0 Cancelación
activo
7.Elemento neutro a+0=a Cancelación
aditivo
8.Elemento inverso a+(a-1)=1 Cancelación
multiplicativo
9.Elemento neutro a*1=a Cancelacion
multiplicativo
10.Sociativa de a*(b*c)=(a*b)*c pilema del mosquetero
la multiplicación
11.Distributiva a+(b+c)=a+b+a+c pilema del mosquetero
Ejemplos
1. 3x(x+5)= 3x2+15x
2. (2x-1)(4x+3)= 8x2+6x-4x-3= 8x2+2x
2. (2x-1)(4x+3)= 8x2+6x-4x-3= 8x2+2x
Ejercicios
3. 7(x+5)
4. a2-5a+6a+5a
5. (6x+5)(2x2-4x+9)
6. (3x-1)(5x3+4x2-6x-2)
7. (a+2)[4(a-5)-7(3a-1)]
8. -3a2+3a-2a2+a-5a+2a2
9. (2x-7)(5x+3)
10. 3x2(4x3-6x2+11x-2)
2.2 sintaxis y semántica
sintaxis:
es la parte de la gramática que estudia las reglas que gobiernan la combinatoria de constituyentes sintácticos y la formación de unidades superiores a estos, como los sintagmas y oraciones gramaticales.
Semántica:
desarrolla una serie de problemas lógicos de significación, estudia la relación entre el signo lingüístico y la realidad. Las condiciones necesarias para que un signo pueda aplicarse a un objeto, y las reglas que aseguran una significación exacta.
+Tipos de operadores
1. Aritmeticos
+, -, *, /, mod,(%)
2. Relacionales
=, <, >, <>, >=, <=, etc.
3. Logicos
abd(y), or(o), not(no)
4. Alfanumerico
+ concatenar expresiones
5. asociativo
( ), [ ]. { }
+ Jerarquia de los operadores
1. parentesis
2. Funciones(potencias, raiz, seno, coseno, etc.)
3. aritmeticos
→Arbol Sintactico
1. 2 + 5*3
2. (2+5)*
3. ab+c
4. abc+d
5. ab+cd
6. 6x2-8x+1
7. 7+senx2
8. ln(x3-2)
9. 2ex+5ln(x-2)
10. sen(ex+lnx)
2.3 Sustitución Algebraica
Es el método a través del cual se evalúa una expresión para obtener su resultado. Para realizarlo primero se tiene que elaborar el árbol sintáctico de la expresión y después sustituir el valor de las icognitas.
1. 17x2-6x+1, x=2
2. (a2+ab-b2)(a+2b), a=3, b=4
3. (x+1)/3+y/2, x=3, y=4
4. x(y/x+1)+y(y-1), x=2, y=3
5. 8x2+2x-3, x=2
2.4 Conceptos Matemáticos
2.4.1 Resta
La operación de sustracción o resta a-b en el conjunto de los números reales "R" esta definida mediante la adición del inverso aditivo de b es decir a-b=a+(-b), que se localiza a la izquierda del cero en el conjunto de los números enteros "Z", de tal forma que:
N(naturales)= {1,2,3,...}
Ñ(inversos)={-1, -2, -3, ..}
Z(enteros)= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Ejemplo,
1. (-8)+6=-8+6=-2
2.10-(-6)=10+6=16
Ejercicios,
3. 22+(-19)
4. 18+(-16)
5. -18-(-6+2)
6. -20-(-6+14)
7. -15-(-3+9)
8. 6-(-8)+(-20)-(-25)
9. 10+(-2)-(-15)-(20)
10. 7(-9)+)-8)-(-4)
2.4.2 Multiplicación
Para realizaras se requiere definir dos teoremas"
a) producto de un entero positivo x un entero negativo
si a,b eR entonces a(-b)=-ab
b) producto de dos enteros negativos
si a,b eR, entonces (-a)(-b)=-ab
Ejemplo,
1. 3(-4)=-12
2. (-6)(-9)=54
Ejercicios,
3. 2(-5)
4. -5(-4)(3)
5. 6(-3)
6. 7(-8)(-6)
7. 7(-4)
8. 3(-2)(-4)
9. 9(-7)
10 (-8)(-5)
2.4.3 División
La división es a/b se define como el producto de a*el inverso multiplicativo de b.
Ejemplo,
1.\frac{72}{(-18)}-\frac{(3-12)}{(-9)}=
\frac{72}{(-18)}-\frac{(-9)}{-(9)}=
-4-1=5
\frac{72}{(-18)}-\frac{(-9)}{-(9)}=
-4-1=5
Ejercicios,
2.\frac{18}{(3)(6)}-\frac{(7-35)}{4}
3.\frac{8}{(-4)(2)}-(2)(6)-5
4.\frac{\frac{28}{7+15}}{y}
5.\frac{6}{\frac{2+9}{2}}
3.\frac{8}{(-4)(2)}-(2)(6)-5
4.\frac{\frac{28}{7+15}}{y}
5.\frac{6}{\frac{2+9}{2}}
2.4.4 Polinomios
Es una expresión con varios términos donde aparecen únicamente sumas, restas o productos de números reales o variables, donde los exponentes don enteros no negativos.
Ejemplos,
1.5a-6c
2.7xy+az-2b+3
3. x^2+2x+5
4.3x^2+2x^2-12x-8
5.x^2+1
2.7xy+az-2b+3
3. x^2+2x+5
4.3x^2+2x^2-12x-8
5.x^2+1
2.4.5 Raíces
Propiedades,
\sqrt[]{ab}=\sqrt[]{a}\sqrt[]{b}
\sqrt[]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b}}
\sqrt[]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b}}
ejemplo algebraicos
\sqrt[]{x^2x^6}=\sqrt[]{x^2}\sqrt[]{y^6}=xy^3
\sqrt[]{\frac{a^4}{b^6}}=\frac{\sqrt[]{a^4}}{\sqrt[]{b^6}}=\frac{a^2}{b^3}
\sqrt[]{\frac{a^4}{b^6}}=\frac{\sqrt[]{a^4}}{\sqrt[]{b^6}}=\frac{a^2}{b^3}
ejemplos numericos
\sqrt[]{144}=\sqrt[]{36}\sqrt[]{4}=6*2=12
\sqrt[]{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{25}}=\frac{4}{5}
Ejercicios,\sqrt[]{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{25}}=\frac{4}{5}
1.\sqrt[]{81}
2.\sqrt[]{256}
3.\sqrt[]{\frac{4x^8}{y^4}}
4.\sqrt[]{a^2b^2}
5.\sqrt[]{10x^2y^2}
2.4.6 Ecuaciones2.\sqrt[]{256}
3.\sqrt[]{\frac{4x^8}{y^4}}
4.\sqrt[]{a^2b^2}
5.\sqrt[]{10x^2y^2}
Una ecuación es una igualdad matemática con variables. también se dice que es un enunciado de dos expresiones algebraicas unidas con el símbolo de igualdad.
Ejemplo,
1. 4(x-3)=4x-12, x=1
4(1-3)=4(1)-12
4(-2)=4-12
-8=-8
Ejercicios,
2. x+2=10, x=8
3. x+5=x-7, x=3
4. 6x-7=2x+5, x=3
5. 12z-14=4z+5, z=3
2.4.7 Funciones
Función?
Es un conjunto de pares ordenados tales que no hay dos pares con el mismo primer elemento.
f : A→B
Dominio de una función?
Es el conjunto de los primero elementos en los pares ordenados en una función.
DOM(f)
Rango de una función?
Es el conjunto formado por los segundos elementos en una función.
RAN(f)
Tipos de funciones:
1. f(x)=2x+4, función lineal
2. f(x)=4x2+2x-3, función cuadrática
3. f(x)=1/2x+3, función racional lineal
4. f(x)= sen2x, función trigonométrica
5. f(x)= 5+ln(x-1), función logartitmica
6. f(x)= raíz de 9-x2, función raíz
7. f(x)= ex+1, función exponencial
2.4.8 Valor absoluto
El valor absoluto de un numero llamado "a" se denota de la siguiente manera |a|, es unos de los dos números +a o -a, el cual sea positivo o incluso cero si el resultado de a=0.
Ejemplos,
1.|3|=3
2.|-10|=-(-10)=10
3.|8-6|=|2|=2
4.|7-15|=|-8|=-(-8)=8
